《圓》第3課時教案

這是《圓》第3課時教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

　　教學內容

　　1.圓周角的概念.

　　2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半.

　　推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用.

　　教學目標

　　1.了解圓周角的概念.

　　2.理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

　　3.理解圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

　　4.熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用.

　　設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關系，運用數學分類思想給予邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導解決一些實際問題.

　　重難點、關鍵

　　1.重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題.

　　2.難點：運用數學分類思想證明圓周角的定理.

　　3.關鍵：探究圓周角的定理的存在.

　　教學過程

　　一、復習引入

　　(學生活動)請同學們口答下面兩個問題.

　　1.什么叫圓心角?

　　2.圓心角、弦、弧之間有什么內在聯系呢?

　　老師點評：(1)我們把頂點在圓心的角叫圓心角.

　　(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.

　　剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上?如在圓周上，是否還存在一些等量關系呢?這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題.

　　二、探索新知

　　問題：如圖所示的⊙O，我們在射門游戲中，設E、F是球門，設球員們只能在所在的⊙O其它位置射門，如圖所示的A、B、C點.通過觀察，我們可以發現像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

　　現在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題.

　　1.一個弧上所對的圓周角的個數有多少個?

　　2.同弧所對的圓周角的度數是否發生變化?

　　3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關系?

　　(學生分組討論)提問二、三位同學代表發言.

　　老師點評：www.1230.org 初中數學資源網

　　1.一個弧上所對的圓周角的個數有無數多個.

　　2.通過度量，我們可以發現，同弧所對的圓周角是沒有變化的.

　　3.通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半.

　　下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半.”

　　(1)設圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如圖所示

　　∵∠AOC是△ABO的外角

　　∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

　　∵OA=OB

　　∴∠ABO=∠BAO

　　∴∠AOC=∠ABO

　　∴∠ABC= ∠AOC

　　(2)如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側，那么∠ABC= ∠AOC嗎?請同學們獨立完成這道題的說明過程.

　　老師點評：連結BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC.

　　(3)如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側，那么∠ABC= ∠AOC嗎?請同學們獨立完成證明.

　　老師點評：連結OA、OC，連結BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC

　　現在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的.

　　從(1)、(2)、(3)，我們可以總結歸納出圓周角定理：

　　在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

　　進一步，我們還可以得到下面的推導：

　　半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

　　下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目.

　　例1.如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系?為什么?

　　分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可.

　　解：BD=CD

　　理由是：如圖24-30，連接AD

　　∵AB是⊙O的直徑

　　∴∠ADB=90°即AD⊥BC

　　又∵AC=AB

　　∴BD=CD

　　三、鞏固練習

　　1.教材P92 思考題.

　　2.教材P93 練習.

　　四、應用拓展

　　例2.如圖，已知△ABC內接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設為a，b，c，⊙O半徑為R，求證： = = =2R.

　　分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R， =2R， =2R，即sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十分明顯要在直角三角形中進行.

　　證明：連接CO并延長交⊙O于D，連接DB

　　∵CD是直徑

　　∴∠DBC=90°

　　又∵∠A=∠D

　　在Rt△DBC中，sinD= ，即2R=

　　同理可證： =2R， =2R

　　∴ = = =2R

　　五、歸納小結(學生歸納，老師點評)

　　本節課應掌握：

　　1.圓周角的概念;

　　2.圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都相等這條弧所對的圓心角的一半;

　　3.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

　　4.應用圓周角的定理及其推導解決一些具體問題.

　　六、布置作業

　　1.教材P95 綜合運用9、10、11 拓廣探索12、13.

　　2.選用課時作業設計.